论文信息：Peng, Z., Yang, B., Xu, Y., Wang, F., Liu, L., & Zhang, Y. (2022). Rapid Surrogate Modeling of Electromagnetic Data in Frequency Domain Using Neural Operator. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 60, 2007912. https://doi.org/10.1109/TGRS.2022.3222507

电磁数据的正演与反演堪称一对"既生瑜何生亮"的矛盾：反演要想高效快速，必须依赖同样快速的正演；而频域电磁正演恰恰又是出了名的"重活"。本文我们课题组（浙江大学地球科学学院，张壹为本文作者之一）与第一作者彭中等合作，提出了一种用神经算子构建的快速正演"代理模型"，把原本需要反复求解线性方程组的频域电磁正演，变成了一次次近乎实时的神经网络推理。下面围绕这篇 IEEE TGRS 论文，梳理它的动机、方法要点与主要结果。

研究背景：为什么频域电磁正演是反演的"卡脖子"环节

在准静态假设下，频域电磁（EM）地球物理观测的控制方程是一组偏微分方程——curl-curl 方程 ∇×∇×E + iωμσE = S。给定空间变化的电导率结构 σ(x)，正演就是要在地表各测点 s、各频率 f 上算出电场与磁场。传统的有限差分法（FDM）等方法必须先对计算区域做网格离散，再对每个频率求解一个大型线性方程组。当网格加密时，计算代价急剧上升。

更关键的是，电磁反演的本质就是反复调用正演：每一次迭代都要为当时的地下模型重新计算正演响应，因此反演的总耗时几乎完全被正演主导。这就构成了一个严酷的现实——反演迭代过程中，我们其实并不需要每次都把正演算到极高精度，只要是"够用"的响应即可。这给了"代理模型"一个巨大的施展空间：能否训练一个网络，让它学习从电导率结构到观测响应的映射，从而用一次快速推理替代一次昂贵的数值求解？

方法：神经算子与"扩展"出的任意测点/频率外推

本文采用的核心是傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator, FNO）。它把正演视为函数空间之间的映射（算子）来学习，而不是在单一网格上拟合。FNO 由三部分组成：一个提升层（lifting）把输入电导率 σ 映射到高维表征，若干傅里叶层，以及一个投影层。傅里叶层借鉴卷积定理，把卷积核在傅里叶域中做逐点相乘（用 FFT 加速），从而以很小的代价捕获远距离的非局部特征——非常契合电导率随空间高度异质这一特点，也是其计算高效的关键。

EFNO 架构示意图
图1　本文提出的扩展傅里叶神经算子（EFNO）架构示意（引自论文 Figure 2）

在标准 FNO 之上增加一个“位置网络”（location network），把测点与频率 (s, f) 作为输入，与 FNO 展平后的输出相乘，使网络能直接预测任意测点/频率上的电场磁场（或视电阻率与相位）。

不过标准 FNO 有一个对电磁问题很别扭的限制：它的输入与输出必须在同一个网格上。而电磁正演的输入（电导率 σ）是空间函数，输出却是测点与频率的函数，二者维度天然不同。为此，本文借鉴 DeepONet 的思想提出了扩展傅里叶神经算子（EFNO）：在 FNO 上新增一个位置网络（location network）——一个对 (s, f) 编码的全连接网络——把 FNO 展平后的输出与位置网络的输出逐维相乘，从而把解投影到 (s, f) 空间。这样两个直接的好处随之而来：一是输出空间可以与输入电导率的空间不同；二是只需用一部分测点和频率训练，就能预测任意测点、任意频率上的解（包括训练中从未见过的频率和测点）。

此外，由于 FNO 具有离散化不变性（infinite-dimensional 映射），EFNO 继承了这一优点：在低分辨率（如 64×64）网格上训练好的模型，可以迁移到高分辨率（128×128）网格——只需按网格尺寸重建并重训位置网络的输出层，其余 FNO 主体参数直接复用。在实验中，整个网络约 617 万参数中只有约 218 万（约三分之一）需要重训，节省了约三分之二的训练开销，这就是所谓的"超分辨率预测"能力。

主要结果：精度好、速度快几个数量级

为了训练网络，作者用高斯随机场（GRF，β=[3,4,5,6,7]）生成大量随机电导率样本以覆盖多种尺度，用 FDM（3-D 部分用 ModEM）作为真值：2-D 训练 15000 个样本、测试 3000 个，网格 64×64，频率与测点各 64 个（约 0.05–10 Hz）。关键定量结果如下：

  • 2-D 电场/磁场预测：相对 ℓ₂ 误差低至 0.40%（3000 个测试样本）；单个结构在 64 个频率上的预测仅需 0.073 s，而 FDM 需 7.1 s——快约 100 倍（均在 CPU 上）。
  • 直接输出视电阻率与相位：同样可行，相对 ℓ₂ 误差 0.37%，与从场转化而来的 0.38% 相当，说明可以直接把观测参数作为网络输出。
  • 任意测点/频率外推：仅用 22×22 的测点×频率训练，即可预测全部 64×64 的测点×频率，误差 0.40%，未见显著劣化。
  • 超分辨率（64→128）：迁移学习后相对 ℓ₂ 误差 1.84%；一个实例预测 0.256 s 对 FDM 的 280 s，快约 1000 倍。
视电阻率与相位对比剖面
图2　视电阻率与相位的代理模型 vs FDM 对比（引自论文 Figure 6）

(a) FDM、(b) EFNO 计算得到的视电阻率与相位剖面（xy 与 yx 两种模式）；(c) 二者之间的相对/绝对差异。预测与 FDM 高度吻合，差异随机分布且没有统计显著的系统偏差，相对 ℓ₂ 误差约 0.37%。

  • 3-D 尝试：由于计算资源有限，作者用"降维块"（一个傅里叶层加一个池化层，每次把数据尺寸减半、通道翻倍）处理 3-D 电导率（32×32×32），用 ModEM 提供真值。100 个测试样本相对 ℓ₂ 误差 1.81%，单次预测 0.21 s 对 FDM 的 271 s，快约 1300 倍，展示了方法的 3-D 潜力。
  • 架构对比：作者还对比了 EFNO、标准 FNO 与扩展卷积编解码网络（ECNN）。标准 FNO 精度虽高，却只能在同网格上预测、缺乏灵活性；ECNN 具备相似的灵活性但精度最低；EFNO 在灵活性与精度间取得最佳平衡，说明"用子网络编码输出空间、用 FNO 提取电导率特征"的策略行之有效。

讨论与泛化

泛化实验揭示了方法的适用边界：EFNO 在更平滑的电导率结构上表现更好（β 越大、结构越光滑，误差越低）；而对含不连续电导率块的结构，参考模型表现变差（误差约 2.82%），但用 2000 个不连续结构样本重训后误差可降至 1.9% 左右——这类不连续结构在真实反演问题中其实相当少见。样本数量的影响也符合直觉：相对误差随样本数近似以 log₁₀(ℓ₂) ∝ −log₁₀(N) 的规律下降，约 2000 个样本即可达到 1% 量级，为在精度与训练时间之间取舍提供了依据。

结论与展望

这项工作把"神经算子学习 PDE 解映射"的思想带进了频域电磁正演：通过 EFNO，实现了对复杂电导率结构响应**至少快约 100 倍（2-D）乃至上千倍（3-D/超分辨率场景）**的代理正演，同时保持 0.4%–1.8% 的良好精度，并能任意外推到未训练过的测点与频率、借助迁移学习完成超分辨率预测。这正是反演迭代所急需的"快且够准"的正演替代模块。本文所有代码已开源（https://github.com/zhongpenggeo/EFNO），便于复现与后续集成进电磁反演流程。作为代理模型路线在电磁地球物理中的一次系统性验证，它也为将来把神经算子嵌入真正的 MT/可控源电磁反演打下了基础。

延伸阅读与引用

  • Li, Z., et al. (2021). Fourier neural operator for parametric partial differential equations. ICLR 2021 (arXiv:2010.08895).
  • Lu, L., Jin, P., Pang, G., Zhang, Z., & Karniadakis, G. E. (2021). Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators. Nature Machine Intelligence, 3, 218–229.
  • Kovachki, N., et al. (2023). Neural operator: Learning maps between function spaces. JMLR, 24, 1–97.
  • Raissi, M., Perdikaris, P., & Karniadakis, G. E. (2019). Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems. Journal of Computational Physics, 378, 686–707.
  • Egbert, G. D., & Kelbert, A. (2012). Computational recipes for electromagnetic inverse problems. Geophysical Journal International, 189(1), 251–267.

本文为对该论文的中文解读，图片均引自论文原文。