走时反演

论文信息：Zhang, Y., Xu, Y., Yang, B., Mooney, W. D., & Wang, F. (2022). Geophysical inversions on unstructured meshes using non-gradient based regularization. Geophysical Journal International, 230, 1864–1877. https://doi.org/10.1093/gji/ggac155 地球物理反演十有八九是病态问题，正则化几乎是"标配"。然而当模型网格从规整的长方体变成三角形、四面体构成的非结构网格时，传统基于空间梯度（x/y/z 方向偏导）的正则化算子会遇到一连串麻烦。本文由张壹担任第一作者，与合作者在三角形、四面体非结构网格上提出了一套不依赖空间梯度（non-gradient based）的正则化新算法，涵盖光滑度约束与结构相似性约束，并用二维地震走时和三维重力、三维地震走时的合成算例做了系统验证。下面围绕论文梳理其动机、方法与主要结论。 为什么非结构网格需要"另起炉灶"的正则化 在地球物理反演中，地下介质通常被离散为许多小网格单元，反演就是优化每个单元物理属性、使其既能拟合观测又具有地质意义的过程。传统的结构化网格（如规整的矩形网格、规则网格）数学处理方便，但局限也很明显：难以刻画起伏地形，难以与以三角面片组成的线框地质模型衔接，也无法根据数据覆盖或建模需求自适应地调整单元大小。 非结构网格（即三角形、四面体网格）能天然地贴合地质与地形模型，因此在电磁、大地电磁、地震走时、波形、位场等各类反演中越来越受青睐。麻烦在于，正则化公式往往需要模型参数的空间梯度（x/y/z 方向偏导），而结构化网格上单元沿轴向整齐排列，梯度很容易算；非结构网格的相邻单元界面（公共边/公共面）朝向各不相同、通常不垂直于坐标轴，直接构造轴向梯度并不顺利。若采用逐界面差分（如 Günther 等人的做法）又无法给出轴向梯度值，也就难以应付"某些方向更光滑、另一些方向更锐利"的各向异性约束；且把所有邻居都纳入计算的算法还容易遇到所谓的拼图问题（patchwork problem）——靠近等边三角形的中心单元有可能在梯度计算中被"漏掉"，完全得不到光滑度约束（图1）。 图1　二维地震走时反演中不同正则化约束的对比（引自论文 Figure 6）(b)(c)(d) 分别由光滑度约束（本文方法）、Key (2016) 公式与 Lelièvre & Farquharson (2013) 方法得到，结构相近；(e) 加入方向性光滑约束后，异常呈现与权重方向一致的优势延长；(f)(g)(h) 再叠加参考模型约束，含窄连接通道的异常体被完整恢复。 方法：非梯度正则化怎么在两个算子上实现 本文的核心思想是绕开轴向梯度，直接用非结构网格上单元的"邻居关系"来构造正则化项。 光滑度约束：粗糙度不再由梯度衡量，而是在相邻单元界面（三角形网格的公共边、四面体网格的公共面）上计算两侧单元的模型参数之差，并以两单元质心距离的倒数、公共边/公共面的长度（面积）加权。由于每一条公共边在粗糙度矩阵中单独成行，即使出现棋盘状分布也能被正确度量，因而天然免疫拼图问题，边界单元也无需特殊处理。 方向性光滑（向任意方向收紧/放松）：通过引入一个权重向量，把公共边/公共面的单位法向量与权重向量的点积（或叉积）作为权重（由指数 β 控制变化快慢）。当需要模型沿某个方向更平滑时，把权重向量转动到该方向即可——只需"旋转"一个向量，非常直观。这正弥补了传统逐界面差分无法施加各向异性约束的缺陷。 结构相似性约束（把参考模型的"形状"搬进来）：先获取每个单元与其邻居的若干参数差，将它们映射到参数空间。对三角形网格，三个差值构成三维参数空间中的向量，可构造准跨梯度（quasi-cross-gradient）公式（类比经典的跨梯度构造，但求叉积的坐标方向随每个三角形单元自身的三条边而定）；对四面体网格，四个差值构成四维向量，由于四维空间没有叉积，改用点积公式度量两个模型的相似性。这样即使算法已引入其他地球物理/地质数据的复杂约束，也能有效度量反演模型的结构信息。 整个反演仍是标准的 Tikhonov 框架，目标函数为数据拟合项与模型目标项之和、以正则化因子平衡；只是光滑度项与参考模型项都用上述非梯度算子构造。由于全程不出现轴向空间梯度，该方法对不同坐标系、甚至更复杂的混合（非一致）网格都易于推广。 算例与结果：二维走时、三维重力与三维走时 论文用三个合成算例检验算法。 二维地震首波走时（三角形网格）：地下埋有两个主要异常体与一条连接它们的窄通道。仅用基本光滑度约束时，两个主体恢复得不错，但窄连接通道丢失（高慢度小结构在反演中权重小、本就难恢复）；采用方向性光滑约束后，中间连接部分大致恢复，且反演的高慢度异常呈现与权重方向一致的优势延长方向；再叠加参考模型约束（准跨梯度、点积或经典跨梯度均可），异常体（含窄连接通道）被非常完整地恢复。不同方法得到的结构几乎相同，验证了新算子能有效度量模型的结构信息；在参考模型无结构的区域，等效于仅施加光滑度约束。 三维重力（四面体网格）：一个具明显延长方向的密度多面体埋于起伏地形之下。仅用最小结构+光滑度约束时基本看不出延长方向（三维重力反演常见现象，深度加权也补不了走向/倾角信息）；给定一个固定权重向量后，反演密度体的优势延长方向被"拨正"到权重方向，整体结构更贴近真实；再叠加参考模型约束，异常体轮廓基本恢复、延伸得到良好界定。 三维地震首波走时（四面体网格）：地下埋有三个异常体。仅用光滑度约束能恢复位置与大致取向，但形态（如表面起伏）不够准；Key (2016) 公式的结果相对发散，其中扁平异常体几乎无法从背景中区分；加入参考模型约束后，异常体边界基本跟随真实模型轮廓、显著改善形状分辨率。 图2　三维地震首波走时反演在不同约束下的对比（引自论文 Figure 13）(a) 仅光滑度约束；(b) Key (2016) 公式；(c) 光滑度叠加参考模型约束。加入参考模型约束后，异常体的边界与形态明显改善。 ...