反演理论

论文信息：Liu, L., Yang, B., Zhang, Y., Xu, Y., Peng, Z., & Yang, D. (2024). Calculating sensitivity or gradient for geophysical inverse problems using automatic and implicit differentiation. Computers & Geosciences, 193, 105736. https://doi.org/10.1016/j.cageo.2024.105736 在地球物理反演里，灵敏度矩阵与目标函数梯度是几乎所有确定性优化算法的"燃料"，它们的准确与否直接决定反演能否收敛、收敛得多快。然而，对每个算子手工推导、编码并调试其导数公式，往往是耗时且极易出错的一环。本文（第一作者刘连，来自南方科技大学；浙江大学团队共同完成，张壹参与其中）提出并系统检验了一套自动微分 + 隐式微分（Automatic Differentiation with Implicit Differentiation，简称 ADID）的方案，能够自动而精确地算出灵敏度与梯度，并将其接入 3D 电磁法与直流电阻率反演。下面围绕这篇 Computers & Geosciences 论文，梳理其动机、方法与数值结果。 灵敏度/梯度为什么是反演绕不开的"硬骨头" 地球物理反演是非线性的、且因观测覆盖不足与模型空间存在零空间而严重欠定。求解这类问题要么走确定性路线（如 Occam、非线性共轭梯度、L-BFGS），要么走随机路线（如贝叶斯 / 转维抽样）。无论哪种，确定性框架下都要反复计算两类量：正演响应与灵敏度/梯度——后者正是目标函数对模型参数的偏导数。 对灵敏度/梯度的计算，传统上有三条路径（McGillivray & Oldenburg, 1990）： 扰动法（perturbation）：对每个模型参数额外求解一个全新的正演问题，代价随参数个数线性暴涨。 灵敏度方程法（sensitivity equation）：计算量与扰动法相当。 伴随方程法（adjoint equation，AE）：只需解少量额外的子正演来拼出灵敏度矩阵，或多次解一个伴随正演来得到梯度向量，是过去数十年里电磁反演（MT、DC、CSEM）的首选。 伴随法与灵敏度方程法都利用了线性方程组系数矩阵可复用的特性，但它们的痛点在于：需要手工推导、编码并调试相关的导数公式。尤其是当代码"看起来能跑、结果不离谱"时，隐藏在导数实现里的错误格外难揪出来。 方法：让自动微分"接管"难啃的线性求解部分 自动微分（AD）本质上是链式法则 + 编程技术：复杂的函数被拆成一系列初等代数运算（指数、对数、三角等），它们的导数都是良定义的，再用链式法则拼起来即可得到任意复合函数的导数，而且保证精确、无需手工推导。自 Sambridge 等（2007）把 AD 引入地球物理以来，它已广泛用于地震全波形反演等优化问题。 但 AD 在地球物理中一直"卡壳"在一点：地球物理正演（如 MT/DC 的电磁场）通常要求解线性方程组 Ku = s，其中 K 是系数矩阵、u 是物性场。线性求解器本身是迭代过程，不属于初等代数函数，AD 无法显式地对它的解求导。常见的两个补丁都不理想： ...